Профильная математика.Разбор реального варианта ЕГЭ-2023. Первая часть

1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

В окружность вписана трапеция, проведена средняя линия

Решение:

Для решения задачи нам надо знать два факта: 1) вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию; 2) средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Пусть x — боковая сторона трапеции, a и b — основания, P — периметр, l — средняя линия. Тогда $$ P=2x+a+b=2x+2 \cdot \dfrac{a+b}{2}=2x+2l.$$ То есть, $38=2x+22,$ откуда $x=8. $

Ответ:

2. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 25. Найдите объем цилиндра.

Решение:

Пусть $V_к$ — объем конуса; $V_ц$ — объем цилиндра. Известны формулы: $$V_к=\dfrac{1}{3}\cdot S\cdot h;\quad V_ц= S\cdot h, $$ где S — площадь основания; h — высота соответствующей фигуры.
Поскольку и основание, и высота у цилиндра и вписанного в него конуса одинаковые, объем цилиндра в три раза больше объема конуса, т. е. равен 75.

Ответ:

3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены их 4 стран: 5 из Чехии, 4 из Словакии, 8 из Австрии и 8 из Швейцарии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Чехии.

Решение:

Классическая формула теории вероятностей: $$P=\dfrac{m}{n},$$где n — общее число исходов испытания, а m — количество благоприятствующих исходов. При этом все исходы должны быть равновероятными.
В нашей задаче исходы испытаний (результаты жеребьевки) равновероятны, число n совпадает с общим количеством спортсменов: $n=5+4+8+8=25$, $m$ совпадает с количеством спортсменов из Чехии: $m=5$. Соответственно, $$P=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0,2.$$

Ответ:

0,2

4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

В этой задаче результат очередного выстрела не зависит от предшествующих результатов, т. е. события «попадание» и «промах» при каждом из пяти выстрелов независимы. Вероятность попадания — $p$ — дана ($p=0.6$). Поскольку «промах» и «попадание» образуют полную группу событий, вероятность промаха — это дополнение вероятности попадания до единицы: $\overline p=1-0,6=0,4$. Вероятность P произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Т. е. $$P=p^2 \cdot \overline p \, ^3=0,6^2 \cdot 0,4^3=0,02304.$$

Ответ:

0,02304

5. Найдите корень уравнения: $3^{x-5}=81.$

Решение:

Приведем правую часть уравнения (число $81$) к основанию $3$: $3^{x-5}=3^4.$ У степеней в левой и правой частях уравнения равны основания, следовательно (поскольку показательная функция строго монотонна), равны и их показатели: $x-5=4.$ Отсюда $x=9.$

Ответ:

6. Найдите значение выражения: $$\dfrac{\log_{6}22}{\log_{6}11}+ \log_{11}{5,5}. $$

Решение:

Нетрудно заметить, что в первом слагаемом числитель и знаменатель представляют собой логарифмы с одним основанием. Поэтому дробь можно преобразовать по формуле перехода к новому основанию: $$\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}={\log_{a}b}.$$ Используя эту формулу и известный факт, что логарифм произведения равен сумме логарифмов ($\log_{a}{xy}=\log_{a}x+\log_{a}y$), получаем: $$\dfrac{\log_{6}22}{\log_{6}11}+ \log_{11}{5,5}=\log_{11}{2}+\log_{11}{5,5}=\log_{11}{22 \cdot 5,5}=\log_{11}{121}=2. $$

Ответ:

7. На рисунке изображен график функции $ y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1, x_2, x_3 , x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9 $. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $ y=f(x)$ отрицательна.

Решение:

Как известно, производная функции отрицательна на промежутках убывания функции. Таким промежуткам принадлежат четыре точки: $x_2, x_3 , x_8, x_9. $

Ответ:

8. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза главным фокусным расстоянием $ f= $ 30 см. Расстояние $d_1 $ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2 $ от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $$ \dfrac{1}{d_1}+ \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}. $$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Поскольку нам надо найти наименьшее расстояние от линзы до лампочки ($d_1 $), выразим переменную $d_1 $ из данной формулы. $$ \dfrac{1}{d_1}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2},\quad \quad {d_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2}}.$$ Значение дроби тем меньше, чем больше её знаменатель. Т. е. разность $$\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2}$$ должна быть наибольшей. А поскольку на уменьшаемое мы влиять не можем (оно постоянно и равно $\dfrac{1}{30} $), нам необходимо, чтобы вычитаемое $\dfrac{1}{d_2}$ было наименьшим, а значит, само $d_2 $ должно принимать наибольшее значение из допустимого диапазона (от 150 см до 180 см). Т.е для получение наименьшего расстояния от линзы до лампочки мы должны взять $d_2= $ 180 см. Подставив это значение в полученную для $d_1 $ формулу, получим $${d_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{180}}=\dfrac{1}{\dfrac{6}{180}-\dfrac{1}{180}}=\dfrac{1}{\dfrac{5}{180}}=36\quad(см).$$

Ответ:

9. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Решение:

Возьмем за $x $ (л/мин) производительность второй трубы (в случае такого выбора переменной, найдя $x, $ мы ответим на основной вопрос задачи). Тогда производительность первой трубы $x-5 $ (л/мин). Время заполнения первой трубой резервуара объемом $500 $ л: $t_1=\dfrac{500}{x-5}$. Время заполнения второй трубой резервуара объемом $375 $ л: $t_2=\dfrac{375}{x}$. Поскольку $t_1 $ больше $t_2 $ на $10 $ (мин), $t_1-t_2=10$, или $$ \dfrac{500}{x-5}-\dfrac{375}{x}=10.$$ Для решения этого дробно-рационального уравнения, поделим обе его части на 5, перенесем все в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю.$$ \dfrac{100}{x-5}-\dfrac{75}{x}-2=0,\quad \dfrac{100x-75x+375-2x^2+10x}{x(x-5)}=0.$$ Приведя в числителе подобные слагаемые и умножив обе части уравнения на $-1 $, получим: $$\dfrac{2x^2-35x-375}{x(x-5)}=0. $$ Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, последнее дробно-рациональное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} 2x^2-35x-375 = 0, \\ x(x-5) \neq 0. \end{cases} $$ Первому условию системы (корни квадратного уравнения можно найти по формуле корней) удовлетворяют числа $x=-\dfrac{15}{2} $ и $x=25 $. Ни одно из них не противоречит второму условию. Однако первый корень не подходит нам по физическим условиям задачи (производительность не может быть отрицательной). Поэтому ответ в задаче единственный: вторая труба пропускает в минуту $25 $ литров воды.

Ответ:

10. На рисунке изображены графики функций $f(x)=ax^2+bx+c \quad$ и $g(x)=kx+d $, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение:

Данные парабола и прямая пересекаются в двух точках. Одна из них — точка $A(-2; -2) $ — показана на рисунке. Вторая точка — точка B — очевидно находится в первой координатной четверти вне поля рисунка.
Для нахождения абсциссы точки B нам надо найти неизвестные коэффициенты $a, b, c, k, d.$ Для этого подставим в уравнения параболы и прямой координаты выделенных на рисунке точек. Получим две системы уравнений: $$ \begin{cases} a\cdot 0^2+b \cdot 0 + с = -4 \quad \quad \quad \quad — \quad точка \quad (0; -4), \\ a\cdot 1^2+b \cdot 1 + с = -1 \quad \quad \quad \quad — \quad точка \quad (1; 1), \\ a\cdot (-2)^2+b \cdot (-2) + с = -2 \quad — \quad точка \quad (-2; -2). \end{cases} $$ и $$ \begin{cases} k\cdot (-1)+d= 2 \quad \quad \quad — \quad точка \quad (-1; 2), \\ k\cdot (-2)+d = -2 \quad \quad \, — \quad точка \quad (-2; -2). \end{cases} $$ После упрощения: $$ \begin{cases} c=-4, \\ a+b=5, \\ 4a-2b=2. \end{cases} \quad и \quad \quad \begin{cases} -2k+d=-2, \\ -k+d=2. \end{cases} $$ Отсюда $\: a=2, \: \: b=3, \: \: c=-4, \: \: k=4, \: \: d=6. $
Таким образом, $f(x)=2x^2+3x-4 \quad$ и $\quad g(x)=4x+6. $
Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков параболы и прямой следует решить уравнение $f(x)=g(x) $, т. е. $$ 2x^2+3x-4=4x+6. $$ Это уравнение сводится к квадратному: $2x^2-x-10=0, $ имеющему корни $x=-2 \quad и \quad x=2,5. \, $ Первый корень $(x=-2) \, $ является абсциссой точки A , что совпадает с данными рисунка, второй $(x=2,5) $ — искомая абсцисса точки B .

Ответ:

2,5

11. Найдите наибольшее значение функции $ f(x)=3x-2x\sqrt{x}$ на отрезке [0; 4].

Решение:

Своего наибольшего значения функция может достигать либо в граничных точках отрезка, либо в его внутренних точках максимума. Т. е. мы должны проверить значение функции в точках максимума и на краях отрезка. Для нахождения экстремумов функции найдем производную и приравняем её к нулю:
$$f'(x)=(3x-2 \cdot x^\tfrac{3}{2})’=3-2 \cdot\dfrac{3}{2} \cdot x^\tfrac{1}{2}=3-3\sqrt{x},$$ $$f'(x)=0, \quad 3-3\sqrt{x}=0, \quad \sqrt{x}=1, \quad x=1.$$ Мы установили, что единственная точка экстремума функции $f(x) $ принадлежит отрезку [0; 4]. Выяснить, является точка $x=1 $ точкой минимума или точкой максимума можно, исследовав знаки производной. Но для ответа на вопрос задания этого делать не обязательно: достаточно определить значения функции в точках $x=0, \: \: x=1, \: \: x=4 \: $ и выбрать наибольшее из них. $$f(0)=0, \quad f(1)=3-2=1, \quad f(4)=3 \cdot 4-2 \cdot 4 \cdot 2=-4.$$ Очевидно, что наибольшее значение функции достигается в точке экстремума $x=1 $ (а следовательно, это точка максимума) и оно равно $1 $.

Ответ:

Приведенный вариант реального ЕГЭ-2023 по профильной математике (1 июня 2023 года) собран сайтом yagubov.ru. Продолжение — разбор второй части — следует.