Профильная математика.
Разбор реального варианта ЕГЭ-2023.
Первая часть

1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

В окружность вписана трапеция, проведена средняя линия
Решение:
Для решения задачи нам надо знать два факта: 1) вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию; 2) средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Пусть x — боковая сторона трапеции, a и b — основания, P — периметр, l — средняя линия. Тогда $$ P=2x+a+b=2x+2 \cdot \dfrac{a+b}{2}=2x+2l.$$ То есть, \(38=2x+22,\) откуда \(x=8. \)

Ответ:
8

2. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 25. Найдите объем цилиндра.

Решение:
Пусть \(V_к\) — объем конуса; \(V_ц\) — объем цилиндра. Известны формулы: $$V_к=\dfrac{1}{3}\cdot S\cdot h;\quad V_ц= S\cdot h, $$ где  S — площадь основания; h — высота соответствующей фигуры.
Поскольку и основание, и высота у цилиндра и вписанного в него конуса одинаковые, объем цилиндра в три раза больше объема конуса, т. е. равен 75.

Ответ:
75

3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены их 4 стран: 5 из Чехии, 4 из Словакии, 8 из Австрии и 8 из Швейцарии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Чехии.

Решение:
Классическая формула теории вероятностей: $$P=\dfrac{m}{n},$$где n — общее число исходов испытания, а m — количество благоприятствующих исходов. При этом все исходы должны быть равновероятными.
В нашей задаче исходы испытаний (результаты жеребьевки) равновероятны, число n совпадает с общим количеством спортсменов: \(n=5+4+8+8=25\),   \(m\) совпадает с количеством спортсменов из Чехии: \(m=5\). Соответственно, $$P=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0,2.$$

Ответ:
0,2

4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:
В этой задаче результат очередного выстрела не зависит от предшествующих результатов, т. е. события «попадание» и «промах» при каждом из пяти выстрелов независимы. Вероятность попадания — \(p\) — дана (\(p=0.6\)). Поскольку «промах» и «попадание» образуют полную группу событий, вероятность промаха — это дополнение вероятности попадания до единицы:  \(\overline p=1-0,6=0,4\). Вероятность P произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Т. е. $$P=p^2 \cdot \overline p \, ^3=0,6^2 \cdot 0,4^3=0,02304.$$

Ответ:
0,02304

5. Найдите корень уравнения: \(3^{x-5}=81.\)

Решение:
Приведем правую часть уравнения (число \(81\)) к основанию \(3\): \(3^{x-5}=3^4.\) У степеней в левой и правой частях уравнения равны основания, следовательно (поскольку показательная функция строго монотонна), равны и их показатели: \(x-5=4.\) Отсюда \(x=9.\)

Ответ:
9

6. Найдите значение выражения: $$\dfrac{\log_{6}22}{\log_{6}11}+ \log_{11}{5,5}. $$

Решение:
Нетрудно заметить, что в первом слагаемом числитель и знаменатель представляют собой логарифмы с одним основанием. Поэтому дробь можно преобразовать по формуле перехода к новому основанию: $$\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}={\log_{a}b}.$$ Используя эту формулу и известный факт, что логарифм произведения равен сумме логарифмов (\(\log_{a}{xy}=\log_{a}x+\log_{a}y\)), получаем: $$\dfrac{\log_{6}22}{\log_{6}11}+ \log_{11}{5,5}=\log_{11}{2}+\log_{11}{5,5}=\log_{11}{22 \cdot 5,5}=\log_{11}{121}=2. $$

Ответ:
2

7. На рисунке изображен график функции \( y=f(x)\). На оси абсцисс отмечено девять точек: \(x_1, x_2, x_3 , x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9 \). В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции \( y=f(x)\) отрицательна.

Решение:
Как известно, производная функции отрицательна на промежутках убывания функции. Таким промежуткам принадлежат четыре точки: \(x_2, x_3 , x_8, x_9. \)
Ответ:
4

8. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза главным фокусным расстоянием \( f= \) 30 см. Расстояние  \(d_1 \) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2 \) от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $$ \dfrac{1}{d_1}+ \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}. $$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:
Поскольку нам надо найти наименьшее расстояние от линзы до лампочки (\(d_1 \)), выразим переменную \(d_1 \) из данной формулы. $$ \dfrac{1}{d_1}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2},\quad \quad {d_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2}}.$$ Значение дроби тем меньше, чем больше её знаменатель. Т. е. разность $$\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2}$$ должна быть наибольшей. А поскольку на уменьшаемое мы влиять не можем (оно постоянно и равно \(\dfrac{1}{30} \)), нам необходимо, чтобы вычитаемое \(\dfrac{1}{d_2}\) было наименьшим, а значит, само \(d_2 \) должно принимать наибольшее значение из допустимого диапазона (от 150 см до 180 см). Т.е для получение наименьшего расстояния от линзы до лампочки мы должны взять \(d_2= \) 180 см. Подставив это значение в полученную для \(d_1 \) формулу, получим $${d_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{180}}=\dfrac{1}{\dfrac{6}{180}-\dfrac{1}{180}}=\dfrac{1}{\dfrac{5}{180}}=36\quad(см).$$

Ответ:
4

9. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Решение:
Возьмем за \(x \) (л/мин) производительность второй трубы (в случае такого выбора переменной, найдя \(x, \) мы ответим на основной вопрос задачи). Тогда производительность первой трубы \(x-5 \) (л/мин). Время заполнения первой трубой резервуара объемом \(500 \) л: \(t_1=\dfrac{500}{x-5}\). Время заполнения второй трубой резервуара объемом \(375 \) л: \(t_2=\dfrac{375}{x}\). Поскольку \(t_1 \) больше \(t_2 \) на \(10 \) (мин), \(t_1-t_2=10\), или $$ \dfrac{500}{x-5}-\dfrac{375}{x}=10.$$ Для решения этого дробно-рационального уравнения, поделим обе его части на 5, перенесем все в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю.$$ \dfrac{100}{x-5}-\dfrac{75}{x}-2=0,\quad \dfrac{100x-75x+375-2x^2+10x}{x(x-5)}=0.$$ Приведя в числителе подобные слагаемые и умножив обе части уравнения на \(-1 \), получим: $$\dfrac{2x^2-35x-375}{x(x-5)}=0. $$ Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, последнее дробно-рациональное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} 2x^2-35x-375 = 0, \\ x(x-5) \neq 0. \end{cases} $$ Первому условию системы (корни квадратного уравнения можно найти по формуле корней) удовлетворяют числа \(x=-\dfrac{15}{2} \) и \(x=25 \). Ни одно из них не противоречит второму условию. Однако первый корень не подходит нам по физическим условиям задачи (производительность не может быть отрицательной). Поэтому ответ в задаче единственный: вторая труба пропускает в минуту \(25 \) литров воды.
Ответ:
25

10. На рисунке изображены графики функций \(f(x)=ax^2+bx+c \quad\) и \(g(x)=kx+d \), которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение:
Данные парабола и прямая пересекаются в двух точках. Одна из них — точка \(A(-2; -2) \) — показана на рисунке. Вторая точка — точка B — очевидно находится в первой координатной четверти вне поля рисунка.
Для нахождения абсциссы точки B нам надо найти неизвестные коэффициенты \(a, b, c, k, d.\) Для этого подставим в уравнения параболы и прямой координаты выделенных на рисунке точек. Получим две системы уравнений: $$ \begin{cases} a\cdot 0^2+b \cdot 0 + с = -4 \quad \quad \quad \quad — \quad точка \quad (0; -4), \\ a\cdot 1^2+b \cdot 1 + с = -1 \quad \quad \quad \quad — \quad точка \quad (1; 1), \\ a\cdot (-2)^2+b \cdot (-2) + с = -2 \quad — \quad точка \quad (-2; -2). \end{cases} $$ и $$ \begin{cases} k\cdot (-1)+d= 2 \quad \quad \quad — \quad точка \quad (-1; 2), \\ k\cdot (-2)+d = -2 \quad \quad \, — \quad точка \quad (-2; -2). \end{cases} $$ После упрощения: $$ \begin{cases} c=-4, \\ a+b=5, \\ 4a-2b=2. \end{cases} \quad и \quad \quad \begin{cases} -2k+d=-2, \\ -k+d=2. \end{cases} $$ Отсюда \(\: a=2, \: \: b=3, \: \: c=-4, \: \: k=4, \: \: d=6. \)
Таким образом, \(f(x)=2x^2+3x-4 \quad\) и \(\quad g(x)=4x+6. \)
Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков параболы и прямой следует решить уравнение \(f(x)=g(x) \), т. е. $$ 2x^2+3x-4=4x+6. $$ Это уравнение сводится к квадратному: \(2x^2-x-10=0, \) имеющему корни \(x=-2 \quad и \quad x=2,5. \, \) Первый корень \((x=-2) \, \) является абсциссой точки A , что совпадает с данными рисунка, второй \((x=2,5) \) — искомая абсцисса точки B .
Ответ:
2,5

11. Найдите наибольшее значение функции \( f(x)=3x-2x\sqrt{x}\) на отрезке [0; 4].

Решение:
Своего наибольшего значения функция может достигать либо в граничных точках отрезка, либо в его внутренних точках максимума. Т. е. мы должны проверить значение функции в точках максимума и на краях отрезка. Для нахождения экстремумов функции найдем производную и приравняем её к нулю:
$$f'(x)=(3x-2 \cdot x^\tfrac{3}{2})’=3-2 \cdot\dfrac{3}{2} \cdot x^\tfrac{1}{2}=3-3\sqrt{x},$$ $$f'(x)=0, \quad 3-3\sqrt{x}=0, \quad \sqrt{x}=1, \quad x=1.$$ Мы установили, что единственная точка экстремума функции \(f(x) \) принадлежит отрезку [0; 4]. Выяснить, является точка \(x=1 \) точкой минимума или точкой максимума можно, исследовав знаки производной. Но для ответа на вопрос задания этого делать не обязательно: достаточно определить значения функции в точках \(x=0, \: \: x=1, \: \: x=4 \: \) и выбрать наибольшее из них. $$f(0)=0, \quad f(1)=3-2=1, \quad f(4)=3 \cdot 4-2 \cdot 4 \cdot 2=-4.$$ Очевидно, что наибольшее значение функции достигается в точке экстремума \(x=1 \) (а следовательно, это точка максимума) и оно равно \(1 \).

Ответ:
1

Приведенный вариант реального ЕГЭ-2023 по профильной математике (1 июня 2023 года) собран сайтом yagubov.ru. Продолжение — разбор второй части — следует.

Занятия математикой летом. Почему это полезно

Наконец-то школа позади, наступило лето! Три месяца круглосуточного отдыха  без длинных нудных уроков и домашних заданий. Без скучных учебников и надоевших формул, задач и теорем.  Как хорошо – никакой учебы!

Конечно, есть школьники, которые используют время на каникулах не только для отдыха, но и для саморазвития: готовятся  в профильных лагерях к предметным олимпиадам, учат иностранные языки в различных языковых школах, самостоятельно или с репетиторами начинают подготовку к ЕГЭ. Таких ребят сейчас становится всё больше. Но пока они чаще встречают не поддержку, а удивление или откровенное неодобрение: так нельзя,  лето – это святое. Надо отдыхать, набираться сил! Учеба подождет.

Однако через три месяца наши отдохнувшие, загоревшие, выросшие дети вернутся за парты.  И тут обнаружится, что все знания, которые с таким трудом добывались в течение учебного года, легким дуновением летнего ветерка унесло в неведомые дали. Такое бывает каждый год, и каждый год мы  недоумеваем: как так, только сентябрь, а ребенок уже отстал по всем предметам?!

Но не терять же лето?  Отдыхать – когда?

Давайте подумаем!  Отдых – это смена деятельности, а потому непрерывный отдых тоже утомителен. Значит, занятия летом – отдыху не помеха, а, скорее, подспорье. Надо только выбрать нужные занятия и правильный темп подготовки. Ведь по разным данным, школьники, которые не прекращают занятия летом, в следующем классе показывают на 12-25% более высокую успеваемость по предмету, нежели их тотально отдыхавшие товарищи. И эта успеваемость достигается не увеличением затраченного на учебу времени, а именно той «форой», которую обеспечивает обучение на каникулах.

Математика летом

Когда речь заходит пользе летних занятий математикой, большинство вспоминает о подготовке к ЕГЭ. И это вполне понятно: математика, пожалуй, один из самых сложных предметов. Только лишь за последний учебный год освоить объем материала, требующийся для успешной сдачи профильного экзамена, просто невозможно. А уровень, который считается «успехом», год от года растет. Вместе с ростом проходных баллов в вузы, принимающие результаты профильного ЕГЭ.

Поэтому школьникам, планирующим поступать на фундаментальные (и престижные) специальности технических и экономических вузов определять свою «индивидуальную образовательную траекторию» нужно как можно раньше. И, конечно, эффективный план подготовки должен строиться с учетом летних занятий.

Но от занятий на каникулах выигрывают не только старшеклассники, готовящиеся к важным экзаменам, – «летняя математика» принесет пользу  ученикам любых классов. Почему?

Считается, что математика не забывается. Забыть, если долго не пользуешься,  можно лексику и синтаксис иностранного или даже родного  языка, но не алгоритмы сложения и умножения дробей или теорему Пифагора. К сожалению, как показывает практика, это не так. И после каникул многие, уже хорошо освоенные,  математические навыки становятся для ребят «чужими»: четвероклассники теряют алгоритмы умножения в столбик и деления уголочком, семиклассники – логику арифметических действий с отрицательными числами и вынесения за скобки общих множителей, девятиклассники –  решение неравенств и тригонометрические функции. Отведенных на повторение двух недель не хватает, программа идет вперед, а потому каждый учебный год ребенок начинает с довольно сильного стресса.

А ведь чтобы избежать такого неприятного начала учебы, не надо летом заниматься математикой каждый день, как это традиционно происходит с сентября по май. Сейчас наш ученик свободен от школьной  нагрузки, а потому каникулы – именно то время, когда можно малыми средствами и усилиями достичь очень многого.  Одного-двух занятий в неделю вполне хватит, чтобы не только поддержать достигнутый за год уровень, но и существенно его расширить. Более того, летние занятия очень помогают мотивированным школьникам без экстремальных усилий и не в ущерб остальным предметам углубить свои знания математики до олимпиадного уровня.

Сегодня всё больше и больше преподавателей математики работают дистанционно, с использованием различных интерактивных онлайн-досок. А потому общение с репетитором вовсе не предполагает обязательного присутствия в городе: для совмещения летнего отдыха и занятий ученику достаточно иметь ноутбук или планшет, стабильный Интернет  и, конечно, мотивацию.

Все мы знаем, что наши дети быстрее всего растут летом. Свежий воздух, солнце, витамины делают свое дело, и заказанная весной на весь класс школьная форма к осени уже половине класса безнадежно мала. Но мало кто из родителей подозревает, что летом мы может ускорить не только физический, но умственный рост ребенка.  Если к перечисленным выше «природным» факторам добавим еще и умеренную интеллектуальную нагрузку.

Хорошего вам лета! И не забывайте о занятиях математикой!

Умножение и деление дробей

I.  Умножение дробей, умножение дроби на целое или смешанное число

Умножение дробей – это, пожалуй, самое легкое арифметическое действие с дробями.

Произведением двух или более дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

После записи произведений не стоит спешить перемножать числа в числителе и в знаменателе. Вначале лучше, воспользовавшись основным свойством дроби, максимально сократить полученное дробное выражение.

Сокращать можно еще до записи произведения дробей под одной чертой дроби. Это, очевидно, хорошо «экономит» время и место.

Также несложно понять, как можно умножить дробь на целое число. Для этого достаточно вспомнить, что любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем единица. На эту единицу умножается знаменатель второго множителя, никак при этом не изменяясь. А потому умножение дроби на целое число сводится к умножению на это число её числителя. Знаменатель при этом остается прежним.

Для того чтобы перемножить смешанные числа, необходимо каждое из них представить в виде неправильной дроби. А затем воспользоваться общим правилом умножения дробей. Результат при необходимости можно снова представить в виде смешанного числа.

А вот умножить смешанное число на целое можно и без привлечения неправильных дробей, просто применив распределительное свойство умножения относительно сложения.

II.  Деление дробей, деление дроби на целое или смешанное число

Деление дробей мы всегда заменяем умножением на число, обратное делителю (т. е. число, которое при умножении на делитель, даёт единицу). Итак,

чтобы разделить дробь на число, надо делимое умножить на число взаимно обратное делителю.

Число, обратное дроби, получаем её «переворачиванием», т. е. заменой числителя на знаменатель, а знаменателя на числитель. Особенно удачно это получается для дробей, у которых числитель равен единице – взаимно обратное число оказывается целым. Число, обратное целому числу, равно дроби с единицей в числителе и знаменателем, равным этому числу.

Деление смешанных чисел осуществляется аналогично их умножению: с помощью перевода в неправильные дроби. Однако, если число, обратное делителю, оказывается целым, то рациональнее отказаться от использования неправильных дробей и  применить распределительное свойство.

Когда все дроби положительные, всё понятно. «Но что делать, если среди множителей есть отрицательные?» – спросите вы. Ответ здесь  простой:  вначале по общим правилам определяется знак произведения или частного, а затем дроби перемножаются или делятся без учета знаков (т. е. находится модуль произведения или частного). Например,

Разбор реального варианта ОГЭ-2018 по математике

Разберем один из реальных вариантов ОГЭ по математике, который был на экзамене 5 июня 2018 года.

Часть I.    Модуль «Алгебра»

Задание № 1

Найдите значение выражения  $$\frac{12}{5}:\frac{15}{2}$$

Задание проверяет умение выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями.

Решение:

$$\require{cancel}\frac{12}{5}:\frac{15}{2}=\frac{\cancel{12}^{4}}{5}\cdot\frac{2}{\cancel{15_{5}}}=\frac{4\cdot2}{5\cdot5}=\frac{8}{25}$$

И далее, домножая числитель и знаменатель на 4, переводим обыкновенную дробь в десятичную:

$$\frac{8}{25}=\frac{8\cdot4}{25\cdot4}=\frac{32}{100}=0,32$$

Ответ: 0,32.

Надо обратить внимание, что в задании деление, а не умножение! Ведь так хочется эти дроби перемножить, получив при этом целочисленный результат.

Основное свойство дроби

Рассмотрим некоторые моменты, которые помогут нам быстро вспомнить материал 6 класса и успешно подготовиться к первому заданию ОГЭ.

Основное свойство дроби звучит так:

Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

Основное свойство дроби распространяется и на дробное выражение – частное двух выражений, в котором знак деления заменен чертой дроби. Таким образом, дробное выражение можно без его изменения делить или умножать на одно и то  же не равное нулю число или выражение.

Внимание: равенство или неравенство нулю любого числа совершенно очевидно. Однако с выражением, зависящем от каких-либо переменных, это не всегда так.  Поэтому, домножая дробь на выражение, надо дополнительно исключить из рассмотрения те значения переменных, при которых оно обращается в нуль.

Рассматриваемое свойство, действительно, является основным – самым важным. Оно помогает нам во многих разных ситуациях. Благодаря нему мы можем выполнять следующие действия, которые мы пока рассмотрим на примере обыкновенных дробей.

1. Сокращение дроби

Сокращение дроби – это деление числителя и знаменателя на любой их общий делитель. Если дробь смешанная, то эта процедура проводится с её дробной частью. Например:

Часто при записи окончательного ответа нужно представить обыкновенную дробь в виде несократимой (числитель и знаменатель – взаимно простые числа). Алгоритм таков: находим наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и  делим на него и числитель, и знаменатель. Например:

Обратите внимание: во втором примере числитель одной из дробей (23) – простое число.

2.  Приведение дробей к общему знаменателю

Для этого числители и знаменатели двух или более дробей домножаются так, чтобы знаменатели этих дробей стали наименьшими равными. Алгоритм действия: вначале находится наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей всех дробей, которое и становится «новым» (общим) знаменателем. Затем числитель и знаменатель каждой дроби домножается на так называемый дополнительный множитель: частное «нового» и «старого» знаменателя дроби.

Например, приведем к общему знаменателю следующие дроби: Найдем наименьшее общее кратное их знаменателей: и дополнительные множители, т. е. те множители, на которые мы будем домножать числитель и знаменатель дроби. Для первой дроби это  84:14 = 6; для второй дроби –  84:28 = 3 и для третьей дроби – 84:21 = 4.

Итак:

Приведение к общему знаменателю часто необходимо при сравнении дробей, а также при их сложении или вычитании.

3.  Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Сразу отметим, что в виде конечной десятичной дроби можно представить лишь ту несократимую дробь, знаменатель которой делится только на степени двойки и степени пятерки, т. е. представим в виде  $$2^{n}\cdot5^{k}$$Для получения в знаменателе степени числа десять надо домножить этот знаменатель на «недостающие» двойки или пятерки. Если число смешанное, работаем только с дробной частью: целая часть «наследуется» десятичной дробью без всяких изменений. Например:

Умение переводить обыкновенные дроби в десятичные на ОГЭ по математике незаменимо: как известно, пока все ответы в тестовой части принимаются только в такой форме.