I. Умножение дробей, умножение дроби на целое или смешанное число
Умножение дробей – это, пожалуй, самое легкое арифметическое действие с дробями.
Произведением двух или более дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.
После записи произведений не стоит спешить перемножать числа в числителе и в знаменателе. Вначале лучше, воспользовавшись основным свойством дроби, максимально сократить полученное дробное выражение.
Сокращать можно еще до записи произведения дробей под одной чертой дроби. Это, очевидно, хорошо «экономит» время и место.
Также несложно понять, как можно умножить дробь на целое число. Для этого достаточно вспомнить, что любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем единица. На эту единицу умножается знаменатель второго множителя, никак при этом не изменяясь. А потому умножение дроби на целое число сводится к умножению на это число её числителя. Знаменатель при этом остается прежним.
Для того чтобы перемножить смешанные числа, необходимо каждое из них представить в виде неправильной дроби. А затем воспользоваться общим правилом умножения дробей. Результат при необходимости можно снова представить в виде смешанного числа.
А вот умножить смешанное число на целое можно и без привлечения неправильных дробей, просто применив распределительное свойство умножения относительно сложения.
II. Деление дробей, деление дроби на целое или смешанное число
Деление дробей мы всегда заменяем умножением на число, обратное делителю (т. е. число, которое при умножении на делитель, даёт единицу). Итак,
чтобы разделить дробь на число, надо делимое умножить на число взаимно обратное делителю.
Число, обратное дроби, получаем её «переворачиванием», т. е. заменой числителя на знаменатель, а знаменателя на числитель. Особенно удачно это получается для дробей, у которых числитель равен единице – взаимно обратное число оказывается целым. Число, обратное целому числу, равно дроби с единицей в числителе и знаменателем, равным этому числу.
Деление смешанных чисел осуществляется аналогично их умножению: с помощью перевода в неправильные дроби. Однако, если число, обратное делителю, оказывается целым, то рациональнее отказаться от использования неправильных дробей и применить распределительное свойство.
Когда все дроби положительные, всё понятно. «Но что делать, если среди множителей есть отрицательные?» – спросите вы. Ответ здесь простой: вначале по общим правилам определяется знак произведения или частного, а затем дроби перемножаются или делятся без учета знаков (т. е. находится модуль произведения или частного). Например,
