Профильная математика.
Разбор реального варианта ЕГЭ-2023.
Первая часть

1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

В окружность вписана трапеция, проведена средняя линия
Решение:
Для решения задачи нам надо знать два факта: 1) вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию; 2) средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Пусть x — боковая сторона трапеции, a и b — основания, P — периметр, l — средняя линия. Тогда $$ P=2x+a+b=2x+2 \cdot \dfrac{a+b}{2}=2x+2l.$$ То есть, \(38=2x+22,\) откуда \(x=8. \)

Ответ:
8

2. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 25. Найдите объем цилиндра.

Решение:
Пусть \(V_к\) — объем конуса; \(V_ц\) — объем цилиндра. Известны формулы: $$V_к=\dfrac{1}{3}\cdot S\cdot h;\quad V_ц= S\cdot h, $$ где  S — площадь основания; h — высота соответствующей фигуры.
Поскольку и основание, и высота у цилиндра и вписанного в него конуса одинаковые, объем цилиндра в три раза больше объема конуса, т. е. равен 75.

Ответ:
75

3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены их 4 стран: 5 из Чехии, 4 из Словакии, 8 из Австрии и 8 из Швейцарии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Чехии.

Решение:
Классическая формула теории вероятностей: $$P=\dfrac{m}{n},$$где n — общее число исходов испытания, а m — количество благоприятствующих исходов. При этом все исходы должны быть равновероятными.
В нашей задаче исходы испытаний (результаты жеребьевки) равновероятны, число n совпадает с общим количеством спортсменов: \(n=5+4+8+8=25\),   \(m\) совпадает с количеством спортсменов из Чехии: \(m=5\). Соответственно, $$P=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0,2.$$

Ответ:
0,2

4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:
В этой задаче результат очередного выстрела не зависит от предшествующих результатов, т. е. события «попадание» и «промах» при каждом из пяти выстрелов независимы. Вероятность попадания — \(p\) — дана (\(p=0.6\)). Поскольку «промах» и «попадание» образуют полную группу событий, вероятность промаха — это дополнение вероятности попадания до единицы:  \(\overline p=1-0,6=0,4\). Вероятность P произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Т. е. $$P=p^2 \cdot \overline p \, ^3=0,6^2 \cdot 0,4^3=0,02304.$$

Ответ:
0,02304

5. Найдите корень уравнения: \(3^{x-5}=81.\)

Решение:
Приведем правую часть уравнения (число \(81\)) к основанию \(3\): \(3^{x-5}=3^4.\) У степеней в левой и правой частях уравнения равны основания, следовательно (поскольку показательная функция строго монотонна), равны и их показатели: \(x-5=4.\) Отсюда \(x=9.\)

Ответ:
9

6. Найдите значение выражения: $$\dfrac{\log_{6}22}{\log_{6}11}+ \log_{11}{5,5}. $$

Решение:
Нетрудно заметить, что в первом слагаемом числитель и знаменатель представляют собой логарифмы с одним основанием. Поэтому дробь можно преобразовать по формуле перехода к новому основанию: $$\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}={\log_{a}b}.$$ Используя эту формулу и известный факт, что логарифм произведения равен сумме логарифмов (\(\log_{a}{xy}=\log_{a}x+\log_{a}y\)), получаем: $$\dfrac{\log_{6}22}{\log_{6}11}+ \log_{11}{5,5}=\log_{11}{2}+\log_{11}{5,5}=\log_{11}{22 \cdot 5,5}=\log_{11}{121}=2. $$

Ответ:
2

7. На рисунке изображен график функции \( y=f(x)\). На оси абсцисс отмечено девять точек: \(x_1, x_2, x_3 , x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9 \). В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции \( y=f(x)\) отрицательна.

Решение:
Как известно, производная функции отрицательна на промежутках убывания функции. Таким промежуткам принадлежат четыре точки: \(x_2, x_3 , x_8, x_9. \)
Ответ:
4

8. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза главным фокусным расстоянием \( f= \) 30 см. Расстояние  \(d_1 \) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2 \) от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $$ \dfrac{1}{d_1}+ \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}. $$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:
Поскольку нам надо найти наименьшее расстояние от линзы до лампочки (\(d_1 \)), выразим переменную \(d_1 \) из данной формулы. $$ \dfrac{1}{d_1}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2},\quad \quad {d_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2}}.$$ Значение дроби тем меньше, чем больше её знаменатель. Т. е. разность $$\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_2}$$ должна быть наибольшей. А поскольку на уменьшаемое мы влиять не можем (оно постоянно и равно \(\dfrac{1}{30} \)), нам необходимо, чтобы вычитаемое \(\dfrac{1}{d_2}\) было наименьшим, а значит, само \(d_2 \) должно принимать наибольшее значение из допустимого диапазона (от 150 см до 180 см). Т.е для получение наименьшего расстояния от линзы до лампочки мы должны взять \(d_2= \) 180 см. Подставив это значение в полученную для \(d_1 \) формулу, получим $${d_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{180}}=\dfrac{1}{\dfrac{6}{180}-\dfrac{1}{180}}=\dfrac{1}{\dfrac{5}{180}}=36\quad(см).$$

Ответ:
4

9. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Решение:
Возьмем за \(x \) (л/мин) производительность второй трубы (в случае такого выбора переменной, найдя \(x, \) мы ответим на основной вопрос задачи). Тогда производительность первой трубы \(x-5 \) (л/мин). Время заполнения первой трубой резервуара объемом \(500 \) л: \(t_1=\dfrac{500}{x-5}\). Время заполнения второй трубой резервуара объемом \(375 \) л: \(t_2=\dfrac{375}{x}\). Поскольку \(t_1 \) больше \(t_2 \) на \(10 \) (мин), \(t_1-t_2=10\), или $$ \dfrac{500}{x-5}-\dfrac{375}{x}=10.$$ Для решения этого дробно-рационального уравнения, поделим обе его части на 5, перенесем все в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю.$$ \dfrac{100}{x-5}-\dfrac{75}{x}-2=0,\quad \dfrac{100x-75x+375-2x^2+10x}{x(x-5)}=0.$$ Приведя в числителе подобные слагаемые и умножив обе части уравнения на \(-1 \), получим: $$\dfrac{2x^2-35x-375}{x(x-5)}=0. $$ Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, последнее дробно-рациональное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} 2x^2-35x-375 = 0, \\ x(x-5) \neq 0. \end{cases} $$ Первому условию системы (корни квадратного уравнения можно найти по формуле корней) удовлетворяют числа \(x=-\dfrac{15}{2} \) и \(x=25 \). Ни одно из них не противоречит второму условию. Однако первый корень не подходит нам по физическим условиям задачи (производительность не может быть отрицательной). Поэтому ответ в задаче единственный: вторая труба пропускает в минуту \(25 \) литров воды.
Ответ:
25

10. На рисунке изображены графики функций \(f(x)=ax^2+bx+c \quad\) и \(g(x)=kx+d \), которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение:
Данные парабола и прямая пересекаются в двух точках. Одна из них — точка \(A(-2; -2) \) — показана на рисунке. Вторая точка — точка B — очевидно находится в первой координатной четверти вне поля рисунка.
Для нахождения абсциссы точки B нам надо найти неизвестные коэффициенты \(a, b, c, k, d.\) Для этого подставим в уравнения параболы и прямой координаты выделенных на рисунке точек. Получим две системы уравнений: $$ \begin{cases} a\cdot 0^2+b \cdot 0 + с = -4 \quad \quad \quad \quad — \quad точка \quad (0; -4), \\ a\cdot 1^2+b \cdot 1 + с = -1 \quad \quad \quad \quad — \quad точка \quad (1; 1), \\ a\cdot (-2)^2+b \cdot (-2) + с = -2 \quad — \quad точка \quad (-2; -2). \end{cases} $$ и $$ \begin{cases} k\cdot (-1)+d= 2 \quad \quad \quad — \quad точка \quad (-1; 2), \\ k\cdot (-2)+d = -2 \quad \quad \, — \quad точка \quad (-2; -2). \end{cases} $$ После упрощения: $$ \begin{cases} c=-4, \\ a+b=5, \\ 4a-2b=2. \end{cases} \quad и \quad \quad \begin{cases} -2k+d=-2, \\ -k+d=2. \end{cases} $$ Отсюда \(\: a=2, \: \: b=3, \: \: c=-4, \: \: k=4, \: \: d=6. \)
Таким образом, \(f(x)=2x^2+3x-4 \quad\) и \(\quad g(x)=4x+6. \)
Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков параболы и прямой следует решить уравнение \(f(x)=g(x) \), т. е. $$ 2x^2+3x-4=4x+6. $$ Это уравнение сводится к квадратному: \(2x^2-x-10=0, \) имеющему корни \(x=-2 \quad и \quad x=2,5. \, \) Первый корень \((x=-2) \, \) является абсциссой точки A , что совпадает с данными рисунка, второй \((x=2,5) \) — искомая абсцисса точки B .
Ответ:
2,5

11. Найдите наибольшее значение функции \( f(x)=3x-2x\sqrt{x}\) на отрезке [0; 4].

Решение:
Своего наибольшего значения функция может достигать либо в граничных точках отрезка, либо в его внутренних точках максимума. Т. е. мы должны проверить значение функции в точках максимума и на краях отрезка. Для нахождения экстремумов функции найдем производную и приравняем её к нулю:
$$f'(x)=(3x-2 \cdot x^\tfrac{3}{2})’=3-2 \cdot\dfrac{3}{2} \cdot x^\tfrac{1}{2}=3-3\sqrt{x},$$ $$f'(x)=0, \quad 3-3\sqrt{x}=0, \quad \sqrt{x}=1, \quad x=1.$$ Мы установили, что единственная точка экстремума функции \(f(x) \) принадлежит отрезку [0; 4]. Выяснить, является точка \(x=1 \) точкой минимума или точкой максимума можно, исследовав знаки производной. Но для ответа на вопрос задания этого делать не обязательно: достаточно определить значения функции в точках \(x=0, \: \: x=1, \: \: x=4 \: \) и выбрать наибольшее из них. $$f(0)=0, \quad f(1)=3-2=1, \quad f(4)=3 \cdot 4-2 \cdot 4 \cdot 2=-4.$$ Очевидно, что наибольшее значение функции достигается в точке экстремума \(x=1 \) (а следовательно, это точка максимума) и оно равно \(1 \).

Ответ:
1

Приведенный вариант реального ЕГЭ-2023 по профильной математике (1 июня 2023 года) собран сайтом yagubov.ru. Продолжение — разбор второй части — следует.

Занятия математикой летом. Почему это полезно

Наконец-то школа позади, наступило лето! Три месяца круглосуточного отдыха  без длинных нудных уроков и домашних заданий. Без скучных учебников и надоевших формул, задач и теорем.  Как хорошо – никакой учебы!

Конечно, есть школьники, которые используют время на каникулах не только для отдыха, но и для саморазвития: готовятся  в профильных лагерях к предметным олимпиадам, учат иностранные языки в различных языковых школах, самостоятельно или с репетиторами начинают подготовку к ЕГЭ. Таких ребят сейчас становится всё больше. Но пока они чаще встречают не поддержку, а удивление или откровенное неодобрение: так нельзя,  лето – это святое. Надо отдыхать, набираться сил! Учеба подождет.

Однако через три месяца наши отдохнувшие, загоревшие, выросшие дети вернутся за парты.  И тут обнаружится, что все знания, которые с таким трудом добывались в течение учебного года, легким дуновением летнего ветерка унесло в неведомые дали. Такое бывает каждый год, и каждый год мы  недоумеваем: как так, только сентябрь, а ребенок уже отстал по всем предметам?!

Но не терять же лето?  Отдыхать – когда?

Давайте подумаем!  Отдых – это смена деятельности, а потому непрерывный отдых тоже утомителен. Значит, занятия летом – отдыху не помеха, а, скорее, подспорье. Надо только выбрать нужные занятия и правильный темп подготовки. Ведь по разным данным, школьники, которые не прекращают занятия летом, в следующем классе показывают на 12-25% более высокую успеваемость по предмету, нежели их тотально отдыхавшие товарищи. И эта успеваемость достигается не увеличением затраченного на учебу времени, а именно той «форой», которую обеспечивает обучение на каникулах.

Математика летом

Когда речь заходит пользе летних занятий математикой, большинство вспоминает о подготовке к ЕГЭ. И это вполне понятно: математика, пожалуй, один из самых сложных предметов. Только лишь за последний учебный год освоить объем материала, требующийся для успешной сдачи профильного экзамена, просто невозможно. А уровень, который считается «успехом», год от года растет. Вместе с ростом проходных баллов в вузы, принимающие результаты профильного ЕГЭ.

Поэтому школьникам, планирующим поступать на фундаментальные (и престижные) специальности технических и экономических вузов определять свою «индивидуальную образовательную траекторию» нужно как можно раньше. И, конечно, эффективный план подготовки должен строиться с учетом летних занятий.

Но от занятий на каникулах выигрывают не только старшеклассники, готовящиеся к важным экзаменам, – «летняя математика» принесет пользу  ученикам любых классов. Почему?

Считается, что математика не забывается. Забыть, если долго не пользуешься,  можно лексику и синтаксис иностранного или даже родного  языка, но не алгоритмы сложения и умножения дробей или теорему Пифагора. К сожалению, как показывает практика, это не так. И после каникул многие, уже хорошо освоенные,  математические навыки становятся для ребят «чужими»: четвероклассники теряют алгоритмы умножения в столбик и деления уголочком, семиклассники – логику арифметических действий с отрицательными числами и вынесения за скобки общих множителей, девятиклассники –  решение неравенств и тригонометрические функции. Отведенных на повторение двух недель не хватает, программа идет вперед, а потому каждый учебный год ребенок начинает с довольно сильного стресса.

А ведь чтобы избежать такого неприятного начала учебы, не надо летом заниматься математикой каждый день, как это традиционно происходит с сентября по май. Сейчас наш ученик свободен от школьной  нагрузки, а потому каникулы – именно то время, когда можно малыми средствами и усилиями достичь очень многого.  Одного-двух занятий в неделю вполне хватит, чтобы не только поддержать достигнутый за год уровень, но и существенно его расширить. Более того, летние занятия очень помогают мотивированным школьникам без экстремальных усилий и не в ущерб остальным предметам углубить свои знания математики до олимпиадного уровня.

Сегодня всё больше и больше преподавателей математики работают дистанционно, с использованием различных интерактивных онлайн-досок. А потому общение с репетитором вовсе не предполагает обязательного присутствия в городе: для совмещения летнего отдыха и занятий ученику достаточно иметь ноутбук или планшет, стабильный Интернет  и, конечно, мотивацию.

Все мы знаем, что наши дети быстрее всего растут летом. Свежий воздух, солнце, витамины делают свое дело, и заказанная весной на весь класс школьная форма к осени уже половине класса безнадежно мала. Но мало кто из родителей подозревает, что летом мы может ускорить не только физический, но умственный рост ребенка.  Если к перечисленным выше «природным» факторам добавим еще и умеренную интеллектуальную нагрузку.

Хорошего вам лета! И не забывайте о занятиях математикой!

Разбор реального варианта ОГЭ-2018 по математике

Разберем один из реальных вариантов ОГЭ по математике, который был на экзамене 5 июня 2018 года.

Часть I.    Модуль «Алгебра»

Задание № 1

Найдите значение выражения  $$\frac{12}{5}:\frac{15}{2}$$

Задание проверяет умение выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями.

Решение:

$$\require{cancel}\frac{12}{5}:\frac{15}{2}=\frac{\cancel{12}^{4}}{5}\cdot\frac{2}{\cancel{15_{5}}}=\frac{4\cdot2}{5\cdot5}=\frac{8}{25}$$

И далее, домножая числитель и знаменатель на 4, переводим обыкновенную дробь в десятичную:

$$\frac{8}{25}=\frac{8\cdot4}{25\cdot4}=\frac{32}{100}=0,32$$

Ответ: 0,32.

Надо обратить внимание, что в задании деление, а не умножение! Ведь так хочется эти дроби перемножить, получив при этом целочисленный результат.