Умножение и деление дробей

I.  Умножение дробей, умножение дроби на целое или смешанное число

Умножение дробей – это, пожалуй, самое легкое арифметическое действие с дробями.

Произведением двух или более дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

После записи произведений не стоит спешить перемножать числа в числителе и в знаменателе. Вначале лучше, воспользовавшись основным свойством дроби, максимально сократить полученное дробное выражение.

Сокращать можно еще до записи произведения дробей под одной чертой дроби. Это, очевидно, хорошо «экономит» время и место.

Также несложно понять, как можно умножить дробь на целое число. Для этого достаточно вспомнить, что любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем единица. На эту единицу умножается знаменатель второго множителя, никак при этом не изменяясь. А потому умножение дроби на целое число сводится к умножению на это число её числителя. Знаменатель при этом остается прежним.

Для того чтобы перемножить смешанные числа, необходимо каждое из них представить в виде неправильной дроби. А затем воспользоваться общим правилом умножения дробей. Результат при необходимости можно снова представить в виде смешанного числа.

А вот умножить смешанное число на целое можно и без привлечения неправильных дробей, просто применив распределительное свойство умножения относительно сложения.

II.  Деление дробей, деление дроби на целое или смешанное число

Деление дробей мы всегда заменяем умножением на число, обратное делителю (т. е. число, которое при умножении на делитель, даёт единицу). Итак,

чтобы разделить дробь на число, надо делимое умножить на число взаимно обратное делителю.

Число, обратное дроби, получаем её «переворачиванием», т. е. заменой числителя на знаменатель, а знаменателя на числитель. Особенно удачно это получается для дробей, у которых числитель равен единице – взаимно обратное число оказывается целым. Число, обратное целому числу, равно дроби с единицей в числителе и знаменателем, равным этому числу.

Деление смешанных чисел осуществляется аналогично их умножению: с помощью перевода в неправильные дроби. Однако, если число, обратное делителю, оказывается целым, то рациональнее отказаться от использования неправильных дробей и  применить распределительное свойство.

Когда все дроби положительные, всё понятно. «Но что делать, если среди множителей есть отрицательные?» – спросите вы. Ответ здесь  простой:  вначале по общим правилам определяется знак произведения или частного, а затем дроби перемножаются или делятся без учета знаков (т. е. находится модуль произведения или частного). Например,

Основное свойство дроби

Рассмотрим некоторые моменты, которые помогут нам быстро вспомнить материал 6 класса и успешно подготовиться к первому заданию ОГЭ.

Основное свойство дроби звучит так:

Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

Основное свойство дроби распространяется и на дробное выражение – частное двух выражений, в котором знак деления заменен чертой дроби. Таким образом, дробное выражение можно без его изменения делить или умножать на одно и то  же не равное нулю число или выражение.

Внимание: равенство или неравенство нулю любого числа совершенно очевидно. Однако с выражением, зависящем от каких-либо переменных, это не всегда так.  Поэтому, домножая дробь на выражение, надо дополнительно исключить из рассмотрения те значения переменных, при которых оно обращается в нуль.

Рассматриваемое свойство, действительно, является основным – самым важным. Оно помогает нам во многих разных ситуациях. Благодаря нему мы можем выполнять следующие действия, которые мы пока рассмотрим на примере обыкновенных дробей.

1. Сокращение дроби

Сокращение дроби – это деление числителя и знаменателя на любой их общий делитель. Если дробь смешанная, то эта процедура проводится с её дробной частью. Например:

Часто при записи окончательного ответа нужно представить обыкновенную дробь в виде несократимой (числитель и знаменатель – взаимно простые числа). Алгоритм таков: находим наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и  делим на него и числитель, и знаменатель. Например:

Обратите внимание: во втором примере числитель одной из дробей (23) – простое число.

2.  Приведение дробей к общему знаменателю

Для этого числители и знаменатели двух или более дробей домножаются так, чтобы знаменатели этих дробей стали наименьшими равными. Алгоритм действия: вначале находится наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей всех дробей, которое и становится «новым» (общим) знаменателем. Затем числитель и знаменатель каждой дроби домножается на так называемый дополнительный множитель: частное «нового» и «старого» знаменателя дроби.

Например, приведем к общему знаменателю следующие дроби: Найдем наименьшее общее кратное их знаменателей: и дополнительные множители, т. е. те множители, на которые мы будем домножать числитель и знаменатель дроби. Для первой дроби это  84:14 = 6; для второй дроби –  84:28 = 3 и для третьей дроби – 84:21 = 4.

Итак:

Приведение к общему знаменателю часто необходимо при сравнении дробей, а также при их сложении или вычитании.

3.  Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Сразу отметим, что в виде конечной десятичной дроби можно представить лишь ту несократимую дробь, знаменатель которой делится только на степени двойки и степени пятерки, т. е. представим в виде  $2^{n}\cdot5^{k}$. Для получения в знаменателе степени числа десять надо домножить этот знаменатель на «недостающие» двойки или пятерки. Если число смешанное, работаем только с дробной частью: целая часть «наследуется» десятичной дробью без всяких изменений. Например:

Умение переводить обыкновенные дроби в десятичные на ОГЭ по математике незаменимо: как известно, пока все ответы в тестовой части принимаются только в такой форме.